Паркет на полу математика

2877
0

Пчелиные соты, кафель в ванной, плитка на дороге и работы нидерландского художника Маурица Эшера – что между ними общего? Кажется, все уже догадались: узор, заполняющий пространство без промежутков и без перекрытий. Такой рисунок можно увидеть и на полу в Лаборатории математики Политехнического музея.

Вообще разбиение поверхности на повторяющийся узор геометрических фигур – тесселяция, от греческого tessere, «четырехугольник» – был знаком мастерам многих древних культур, от арабской до индийской и китайской. Именно мозаики испанской Альгамбры вдохновили Эшера на создание собственного художественного стиля. Сегодня тесселяция используется в видеоиграх, позволяя создавать детализированную компьютерную графику. Ну а математики называют такие структуры просто паркетами, решая самые необычные задачи по замощению поверхностей без промежутков.

Преподаватель лаборатории Зоя Захарова ведет занятия цикла «Практическая математика», одна из тем – замощение и паркеты. «На самом деле паркеты – лишь часть более общей проблемы упаковки, – говорит она. – Например, если наши фигуры будут трехмерными, задача состоит в том, чтобы сложить их максимально плотно, выяснить, возможно ли это, и так далее. По большому счету, эта тема остается очень плохо изученной».

А это уже не просто абстрактная математика и даже не узоры Эшера: от паркетов можно перейти ко вполне практическим научным задачам. Скажем, к упаковке минеральных частиц, от плотности которых зависят многие физические свойства песка и почвы.

Мозаичные узоры Альгамбры вдохновили геометрическое творчество Морица Эшера

Правильный паркет

Самые простые паркеты складываются из одинаковых правильных многоугольников, имеющих одинаковые же стороны и углы. Чтобы фигуры соприкасались в вершине, не оставляя промежутков, их сходящиеся углы должны в сумме иметь ровно 360°, не больше и не меньше.

В каждой вершине паркета может сходиться только целое число фигур (и их углов), поэтому 360° должны нацело делиться на величину их внутреннего угла. Эта величина равна 180° * (n-2) / n, где n – число вершин правильной фигуры. Например, для равностороннего треугольника – 180° * (3−2) / 3 = 60°, а для четырехугольного квадрата – 90°.

Получается, что 360° / (180° * (n-2) / n) должно быть целым числом. Это отношение можно упростить до 2 * n / (n-2) и посчитать, что под главное паркетное правило подходят лишь несколько правильных фигур – треугольники, четырехугольники (квадраты) и шестиугольники («соты»). Ни пяти-, ни восьмиугольниками, увы, правильно улицу не замостить.

Мориц Эшер, «Две птицы (№18)», 1938 г. Wikimedia

Мозаика Пенроуза и плитка Политеха

Используя две или больше фигур, можно замостить полуправильный паркет, а с помощью нехитрых расчетов – показать, что на плоскости их существует ровно восемь штук. Впрочем, правильными многогранниками геометрия не ограничивается. Если мы не станем упираться в такие фигурами, а сможем использовать любые, возможных паркетов станет бесконечное множество.

Мы можем отказаться даже от симметрии переноса, выкладывая плитку сложным узором: если такую картинку куда-нибудь сдвинуть, она никогда не совпадет с исходной. Такие непериодические паркеты можно выкладывать с помощью самых разных фигур.

Классические исследования на эту тему во второй половине ХХ века провел знаменитый английский математик Роджер Пенроуз, описавший три типа мозаик, в которых используется от двух до шести разных фигур, замощающих плоскость без промежутков, при этом рисунок не повторяется никогда. В мозаике Пенроуза невозможно найти «минимальный» рисунок, который, будучи скопированым, замостил бы плоскость без промежутков. Тем удивительнее, что сама мозаика, не повторяясь, замощает ее целиком.

Третий тип мозаики Пенроуза (Р3) строится из плиток двух типов. Главное здесь – ограничение на возможные сочетания соседних ромбов, которые физически реализованы в виде выступов и впадин на их ребрах

Пол в лаборатории математики Политехнического музея – отличная иллюстрация непериодического паркета, сложенного тремя типами фигур, – двумя видами неправильных пятиугольников и одним шестиугольником. На первый взгляд может показаться, что плитки сложены хаотическим, случайным образом. На самом деле они тщательно подобраны; мастерам-плиточникам пришлось попотеть, выкладывая узор.

Впрочем, математикам было еще сложнее. Десятилетия исследований потребовались, чтобы найти всего три фигуры, из которых можно собрать непериодический рисунок. Этот узор был найден Робертом Амманном лишь в 1977 году. «Амманн получил свой паркет из ромбов Пенроуза, отследив траектории некоторых точек, – добавляет Зоя Захарова. – При этом из ромбов Пенроуза можно сложить не только непериодический, но и периодический паркет. А вот Амманн развил решение Пенроуза: из его набора периодический паркет сложить невозможно».

Непериодический паркет в лаборатории математики выложен по схеме, предложенной Робертом Амманном в 1977 году

«Наука паркетов» делает лишь первые шаги и находится «на этапе собирательства мелких фактов» – по словам математика Сергея Маркелова, с удовольствием комментировавшего сбор мозаики Пенроуза на фестивале «Политех». Возможно, на новый уровень поднимут ее нынешние завсегдатаи Лаборатории математики Политехнического музея, которые регулярно ходят по плиткам нашего непериодического паркета.