Все повторяется все

546
1

В первой половине прошлого века Льюис Фрай Ричардсон увлекся поиском формул, которые позволяли бы статистически достоверно предсказывать начало военных конфликтов между странами. Собрав и изучив различные материалы и выкладки, он заметил, что давние соперники — Испания и Португалия — приводят заметно разные данные о протяженности границ между ними: то 987, то 1214 км. Что это, ошибка или какая-то военная хитрость? Вскоре Ричардсон нашел причину несовпадения этих цифр.

Допустим, вы решили узнать точную протяженность береговой линии Великобритании. Вместо того, чтобы заглянуть во «Всемирную книгу фактов ЦРУ», где указана цифра в 12429 км, вы решили провести измерения самостоятельно. Вскоре вы обнаружите, что периметр острова зависит от того, какую линейку вы выберете: чем детальнее вы станете отмечать каждый мелкий изгиб, тем больше окажется полученная цифра. Ну а если проводить измерения с бесконечной точностью, то и длина получится… бесконечной.

«Динамические системы и фракталы в геологии» Владимир Захаров

Впрочем, это легко объяснить: вспомните, что отрезок прямой является кратчайшим расстоянием между двумя точками. Чем короче линейку мы выберем — тем более длинным путем будут проводиться измерения. Примерно таким же образом еще до Ричардсона рассуждал шведский математик Хельге фон Кох, описавший простую схему превращения обычного равностороннего треугольника в «снежинку» с периметром бесконечной длины.

Можно сказать, что и протяженность границы Испании с Португалией, и длина береговой линии Соединенного Королевства, указанные в популярном справочнике ЦРУ, являются лишь определенным приближением к куда более сложной реальности.

Экспонат «Фракталы в природе» из экспозиции Политеха на ВДНХ не только познакомит с некоторыми удивительными примерами таких структур: здесь можно самому сложить «что-нибудь фрактальное».

В последующие десятилетия ученые стали замечать и другие структуры, обладающие, по выражению советского геолога Виктора Хаина, парадоксальным свойством «непрерывной прерывистости». Однако окончательно в математику они вошли лишь начиная с 1950-х, когда ими занялся великий математик Бенуа Мандельброт. Он же в 1975 г. дал им и название «фракталов», от греческого слова «прерывистый».

На рубеже 1980-х они стали известны и широкой публике — после того, как в свет вышла знаменитая книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», большую часть которой составляли сгенерированные на компьютере картины потрясающей сложности и красоты.

Benoit Mandelbrot W. H. Freeman and Company

Определяющим свойством фракталов является самоподобие: их структура остается одинаковой на всех уровнях. Сколько бы мы ни увеличивали детализацию картинок из «Фрактальной геометрии», каждая более мелкая деталь будет в точности повторять более крупную.

Впрочем, художественно одаренные натуры подметили эту закономерность задолго до Ричардсона и Мандельброта. И хотя фрактальные структуры, встречающиеся в природе и в искусстве, не так идеально самоподобны, как математические построения, они встречаются нам повсюду. В природе — от абриса береговой линии до организации кровеносной системы и древесной кроны. В искусстве — от древних традиционных узоров до работ современных цифровых художников.

Традиционная «фрактальная» вышивка из Марокко

Кстати, вся эта математика может спасти человеческую жизнь в самом прямом смысле этого слова. Шотландский физик и художник Том Беддард (Tom Beddard) создает «Фракталы Фаберже» удивительной красоты, собирая деньги на лечение своей сестры Оливии, больной лейкемией.

Tom Beddard